8 Agosto 2020

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Fibonacci e il Rettangolo Aureo

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Leonardo Pisano detto il Fibonacci, dal latino “filius Bonaccii” (figlio di Bonaccio), nato a Pisa nel 1170 circa, è stato un matematico italiano.

È considerato uno dei più grandi matematici di tutti i tempi. Con altri matematici dell’epoca contribuì alla rinascita delle scienze esatte dopo la decadenza dell’età tardo-antica e dell’Alto Medioevo.

Figlio di un commerciante pisano che trafficava nel mediterraneo, visse fin da piccolo ad Algeri dove apprese i principi dell’algebra da maestri arabi. Più tardi, esercitando sempre il mestiere di mercante, viaggiò in Siria, in Egitto e in Grecia conoscendo i più importanti matematici musulmani. Da questi contatti ed anche dalla necessità pratica di usare le regole di numerazione in uso localmente, nacque la sua opera fondamentale, il “Liber Abaci” (Il libro dell’Abaco), in cui si introducevano per la prima volta nella cultura occidentale le regole di calcolo note nel mondo arabo, cioè la numerazione decimale. Veniva introdotto per la prima volta il numero zero (dall’arabo zefiro, cioè soffio di vento), che era sconosciuto sia agli antichi greci e sia ai romani. L’opera di Fibonacci si completa con due altri libri “Pratica Geometriae” (La Pratica della Geometria), in cui si espongono esaustivamente concetti di geometria e trigonometria e il “Liber Quadratorum” (Il Libro dei Quadrati) dove viene presentato un metodo per approssimare le radici quadrate e cubiche con una precisione di nove cifre.

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La Successione di Fibonacci

La successione di Fibonacci (detta anche successione aurea) nacque da un problema concreto, proposto dall’Imperatore Federico II di Svevia a Pisa nel 1223 in un torneo di matematici. Il problema era il seguente:

Quante coppie di conigli si ottengono in un anno, salvo i casi di morte, supponendo che ogni coppia dia alla luce un’altra coppia ogni mese e che le coppie più giovani siano in grado di riprodursi già al secondo mese di vita?

Fibonacci diede una risposta così rapida al test, che qualcuno pensò male:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, dove ogni numero della successione si ottiene prendendo la somma dei due che lo precedono (con l’esclusione dei primi due).

La serie di Fibonacci è una successione di interi definita a partire dalla coppia 1, 1 in cui l’elemento successivo è calcolato come somma degli ultimi due.

Proviamo a calcolare i primi numeri della serie a partire dalla definizione informale, in cui costruiamo l’elemento successivo per somma degli ultimi due, iniziando dalla coppia 1, 1:

a0 = 1 (primo numero iniziale)

a1 = 1 (secondo numero iniziale)

a2 = 2 = 1+1 (somma degli ultimi due)

a3 = 3 = 2+1 (somma degli ultimi due)

a4 = 5 = 3+2 (somma degli ultimi due)

a5 = 8 = 5+3 (somma degli ultimi due)

La Sezione aurea

La sezione aurea, o rapporto aureo, o numero aureo, o costante di Fidia, o proporzione divina, nell’ambito delle arti figurative e della matematica, indica il numero irrazionale 1,6180339887…ottenuto effettuando il rapporto fra due lunghezze disuguali delle quali la maggiore  è medio proporzionale tra la minore  e la somma delle due.

La sezione aurea è quindi un numero irrazionale e algebrico. Può essere approssimata, con crescente precisione, effettuando il rapporto fra termini consecutivi  della successione di Fibonacci a cui è strettamente connessa.

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La sezione Aurea è molto spesso usata in costruzioni architettoniche o opere d’arte.

L’esempio più famoso di utilizzo delle proporzioni auree in architettura è il Partenone di Atene: la sua facciata, infatti, si può perfettamente inscrivere in un rettangolo aureo.

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Nella Gioconda di Leonardo il rapporto aureo è stato individuato nella disposizione dei lineamenti del viso, nell’area che va dal collo a sopra le mani e in quella che va dalla scollatura dell’abito fino a sotto le mani.

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